OEF Définition d'espaces vectoriels --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur la définition d'un espace vectoriel. Différentes structures sont proposées ; à vous de déterminer s'il s'agit réellement d'un espace vectoriel.

Voir aussi les collections d'exercices les espaces vectoriels en général ou la définition de sous-espace vectoriel.


Cercles

Soit l'ensemble des cercles dans le plan (cartésien), avec des règles d'addition et de multiplication par un scalaire comme suit. L'ensemble avec l'addition et la multiplication par un scalaire définies ci-dessus est-il un espace vectoriel sur le corps de nombres réels ?

Espace d'applications

Soit l'ensemble des applications
,
(i.e., de l'ensemble des vers l'ensemble des ) avec les règles de l'addition et la multiplication par un scalaire comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Valeur absolue

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur  ?

Droite affine

Soit une droite dans le plan cartésien, définie par une équation , et soit un point fixe sur .

Nous prenons l'ensemble des points sur . Sur , nous définissons l'addition et la multiplication par un scalaire comme suit.

L'ensemble muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur  ?

Addition alternée

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Corps

L'ensemble des , muni de l'addition et la multiplication habituelle, est-il un espace vectoriel sur le corps des  ?

Matrices

Soit l'ensemble des matrices réelles . Sur , on définit la multiplication par un scalaire comme suit.

Si est une matrice dans et si est un nombre réel, le produit de par le scalaire est définie comme étant la matrice , où .

L'ensemble muni de l'addition habituelle des matrices et de cette multiplication scalaire est-il un espace vectoriel sur ?


Matrices II

L'ensemble des matrices à coefficients et de taille , muni de l'addition et la multiplication scalaire habituelles, est-il un espace vectoriel sur le corps des  ?

Multiplier/diviser

Soit l'ensemble de couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Nombres non nuls

Soit l'ensemble des nombres réels . On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit : Est-ce que muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ?

Transaffine

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Transcarré

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Cercle de l'unité

Soit l'ensemble des points sur le cercle d'équation dans le plan cartésien. Pour tout point dans , il y a un nombre réel tel que , .

On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Est-ce que muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ? The most recent version

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