OEF Isométries en dimension 3
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices
sur les isométries en dimension 3.
Isométrie vectorielle
Soit
un -espace vectoriel euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormée directe
. On considère l'endomorphisme
de
de matrice
dans
=
La matrice
est orthogonale car elle vérifie
, l'endomorphisme
est donc une isométrie. Est-ce une isométrie
?
C'est une rotation. Calculer son angle non orienté (nombre entre 0 et ).
Cette isométrie
une symétrie.
Pour vous aider à faire les calculs :
Isométrie vectorielle (bis)
Soit
un
-espace vectoriel euclidien de dimension
muni d'une base orthonormée directe
. On considère l'endomorphisme
de E de matrice
dans :
.
La matrice
est orthogonale car elle vérifie
, donc
est une isométrie.
Question 1 : L'isométrie
est-elle une symétrie ?
Question 2 : L'isométrie
est
ou
Question 2 : L'isométrie
est
ou
Pour vous aider à faire les calculs :
QCM : Isométries affines
Cet exercice a 8 versions différentes. N'hésitez pas à le recommencer. Dans l'espace affine euclidien de dimension
, on considère une isométrie affine
d'application linéaire associée
.
On suppose que alors
peut être
QCM : Points fixes, parties stables
Cet exercice a 9 versions différentes. N'hésitez pas à le recommencer. Dans l'espace affine euclidien de dimension
, on considère une isométrie affine
d'application linéaire associée
.
On suppose que alors
peut être
QCM : Trace d'une isométrie
Dans l'espace affine euclidien de dimension
, on considère une isométrie affine
d'application linéaire associée
. On suppose que ; alors
peut être
Rotation vectorielle
Soit
un
-espace vectoriel euclidien de dimension
muni d'une base orthonormée directe
. On considère la rotation
de E de matrice
dans
Donnez un vecteur directeur de son axe :
On oriente l'axe de
par ce vecteur directeur. Entrez la mesure (sous forme décimale ou en radian) comprise entre -
et
de l'angle de
Pour vous aider à faire les calculs :
Isométrie avec paramètres
Soit une base orthonormée directe de l'espace vectoriel euclidien
. On pose :
.
Calculer
,
,
et
de manière à ce que
soit la matrice dans d'une . Pour vous aider à faire les calculs :
Rotation, antirotation
Soit
un
-espace vectoriel euclidien de dimension
muni d'une base orthonormée directe
. On considère l'endomorphisme
de E de matrice
dans
.
La matrice
est orthogonale car elle vérifie
, donc
est une isométrie.
Question 1 : La matrice
n'est pas symétrique donc l'isométrie
est une
ou une
Question 2 : L'isométrie
est bien une rotation.
Question 2 : L'isométrie
est bien une antirotation.
Donnez un vecteur directeur de son axe.
On oriente l'axe de
par le vecteur (). Entrez la mesure (sous forme décimale en radian ou comme fraction de pi) comprise entre - et de l'angle de
.
Question 3 : Donnez une équation du plan stable par
.
Pour vous aider à faire les calculs :
Réflexion glissée par rapport à un plan
Soit
la réflexion par rapport au plan
d'équation
et
la translation de vecteur
.
L'isométrie
est une
.
Dans la décomposition canonique de la réflexion glissée
L'équation du plan de symétrie
l'équation du plan de symétrie
est
le vecteur de la translation est
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- Description: collection d'exercices sur les isométries en dimension 3. serveur web interactif avec des cours en ligne, des exercices interactifs en sciences et langues pour l'enseigment primaire, secondaire et universitaire, des calculatrices et traceurs en ligne
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