Surfaces paramétrées

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Étude rapide des surfaces paramétrées, calcul de l'aire d'une surface, flux d'un champ de vecteurs à travers une surface. Formules de Stokes-Green.

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Surfaces

Introduction

Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes.

Exercice

Si vous connaissez les quadriques, vous pouvez regarder les exercices suivants (c'est aussi un moyen de voir à quoi elles ressemblent) :

Définition

Définition

Une surface paramétrée dans 3 est une application C 1 d'un domaine 𝒟 de 2 dans 3 :
S:(u,v)𝒟f(u,v) 3.
Si les composantes de la fonction vectorielle f sont f=(f 1,f 2,f 3), on écrit aussi :
{x = f 1(u,v) y = f 2(u,v) z = f 3(u,v)(u,v)𝒟.
On note quelquefois les composantes de f(u,v) par x(u,v), y(u,v), z(u,v), ce qui donne les équations
{x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v)(u,v)𝒟
De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.
On peut aussi ne regarder que l'image f(𝒟) de l'application f ; c'est un sous-ensemble de 3 qu'on appelle aussi surface dans 3 (à condition qu'elle ne soit pas dégénérée ...).

Exemple fondamental

Exemple

Soit g une fonction de 𝒮 2 dans . On lui associe la surface paramétrée d'équation
{x = u y = v z = g(u,v)(u,v)𝒟
Mais on aurait aussi pu aussi lui associer la surface paramétrée d'équation
{x = u y = g(u,v) z = v(u,v)𝒟
ou
{x = g(u,v) y = u z = v(u,v)𝒟.

Exercice

Paramétrer une surface . Réciproquement, lorsqu'on peut exprimer une des coordonnées en fonction des deux autres, on trouve facilement un paramétrage de la surface.

Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...

Exemple

Paramétrer l'intérieur d'un parallélogramme s'appuyant sur deux vecteurs indépendants de 3 : V 1=(a 1,b 1,c 1) et V 2=(a 2,b 2,c 2) au point A=(a,b,c).
Solution
On note ici les deux paramètres u et v : de manière compacte,
OM=OA+uV 1+vV 2(u,v)D
avec
D={(u,v)0u1,0v1}
ou
{x = a+ua 1+va 1 y = b+ub 1+vb 2 z = c+uc 1+vc 2(u,v)D
si A est le point de coordonnées (a,b,c) et V 1 et V 2 les vecteurs (a 1,b 1,c 1) et (a 2,b 2,c 2).
Le Tracé pour v 1=(4,4,1) et v 2=(1,1,4).

Exemple

Paramétrer la surface de 3 d'équation x=y 2+z 2.
Solution
On note ici les deux paramètres theta et r :
{x = r 2 y = rcos(θ) z = rsin(θ)(θ,r)D
avec D={(θ,r)0θ<2π,r +}.
Tracé

Exemple

Paramétrer la sphère de 3 d'équation x 2+y 2+z 2=1.
Solution
On note ici les deux paramètres varphi et theta, ils sont bien sûr liés aux coordonnées sphériques:
{x = cos(φ)cos(θ) y = cos(φ)sin(θ) z = sin(φ)(θ,φ)D
avec D={(θ,φ),0θ<2π,π/2φπ/2}.
Tracé

Exemple

Paramétrer le cylindre de 3 d'équation x 2+y 2=a 2.
Solution
On note ici les deux paramètres theta et z, ils sont bien sûr liés aux coordonnées cylindriques :
{x = acos(θ) y = asin(θ) z = z(θ,z)D
avec D={(θ,z)0θ<2π,z}.
Tracé pour a=6.

Exemple

Paramétrer le paraboloïde hyperbolique de 3 d'équation x 2+y 2=z 2.
Solution
Une paramétrisation d'un paraboloide elliptique d'équation implicite z=x 2+y 2 :
{x = ucos(v) y = usin(v) z = u 2
avec u>0 et θ[0,2π].
Tracé

Quelques surfaces paramétrées à tracer

Hélicoïde :
{x = ucos(v) y = usin(v) z = v
En coordonnées cylindriques : r=u,z=θ
Tracé
Tore : >
{x = (A+acos(u))cos(v) y = (A+acos(u))sin(v) z = asin(u)
avec A et a des constantes. En coordonnées cylindriques :
r=A+acos(φ)
Tracé
Surface d'Enneper :
{x = uu 3/3+uv 2 y = vv 3/3+vu 2 z = u 2v 2
Tracé
Sans nom :
{x = cos(u)cos(v)(1+sin(6v)sin(5u)/5) y = cos(u)sin(v)(1+sin(6v)sin(5u)/5) z = sin(u)(1+sin(6v)sin(5u)/5)
Cette surface a comme équation en coordonnées sphériques (r,θ,φ)
r=(1+sin(6θ)sin(5φ)/5)

Tracé pour x=cos(u)cos(v)(1+12sin(7v)sin(2u)),y=cos(u)sin(v)(1+12sin(7v)sin(2u)),z=sin(u)(1+12sin(7v)sin(2u)).

Plan tangent

Pour (u 0,v 0) in calD, le vecteur fu(u 0,v 0) de 3 est de composantes
(f 1u(u 0,v 0),f 2u(u 0,v 0),f 3u(u 0,v 0)).
On le note aussi D 1(f)(u 0,v 0) ou D u(f)(u 0,v 0).
De même, fv(u 0,v 0) peut être noté D 2(f)(u 0,v 0)=D v(f)(u 0,v 0)=fv(u 0,v 0).

Définition

Si 𝒮 est une surface paramétrée C 1, (u 0,v 0) in calD, si M 0 est le point de la surface de paramètre (u 0,v 0) : M 0=f(u 0,v 0) et si fu(u 0,v 0) et fv(u 0,v 0) sont deux vecteurs de 3 linéairement indépendants, on appelle plan tangent au point M 0=f(u 0,v 0) de paramètres (u 0,v 0) le plan engendré par ces deux vecteurs et passant par le point M 0.

Un tel point est appelé point régulier.

Définition

On dit que 𝒮 est lisse si fu(u 0,v 0) et fv(u 0,v 0) sont indépendants pour tous paramètres (u 0,v 0).

Ainsi, si 𝒮 est lisse, le plan tangent existe pour tous les paramètres. La condition d'indépendance se traduit par
fu(u 0,v 0)fv(u 0,v 0)0.

Calculer le plan tangent

Pour trouver l'équation de ce plan, on peut utiliser les méthodes équivalentes suivantes : Le lien entre les deux méthodes est donné par la formule
det(v 1,v 2,v 3)=(v 1v 2)v 3.

Pour tester qu'un vecteur V est dans le plan tangent, on peut vérifer que son produit scalaire avec N est nul ou, ce qui revient au même que le déterminant de V, D 1(f)(u 0,v 0) et D 2(f)(u 0,v 0) est nul.

Exercices

Vecteur normal

Définition

Le vecteur normal orienté à la surface paramétrée au point de paramètre (u 0,v 0) est donné par
D 1(f)(u 0,v 0)D 2(f)(u 0,v 0).

Définition

Le vecteur normal unitaire orienté à la surface paramétrée est donné par
D 1(f)(u 0,v 0)D 2(f)(u 0,v 0)D 1(f)(u 0,v 0)D 2(f)(u 0,v 0) .
Remarque : l'indépendance des deux vecteurs D 1(f)(u 0,v 0) et D 2(f)(u 0,v 0) permet de montrer que localement, la surface ressemble au graphe d'une fonction z=g(x,y), comme dans le cas des courbes paramétrées.
Les deux vecteurs D 1(f)(u 0,v 0) et D 2(f)(u 0,v 0) sont deux vecteurs du plan tangent en M 0=f(u 0,v 0). Ainsi, le vecteur normal est normal au plan tangent.

Exemples de calcul de vecteurs normaux

Vecteur normal à un parallélogramme
Le parallélogramme est décrit par
OM=OA+uV 1+vV 2(u,v)D
avec
D={(u,v)0u1,0v1}
Le vecteur normal est
N=V 1V 2
et ne dépend bien sûr pas du point. Sa norme est
N=V 1V 2

Vecteur normal au cône
Le cône d'équations z 2=x 2+y 2 admet comme paramétrisation
{x= zcos(θ) y= zsin(θ) z= z
On prend donc comme paramètres theta et z.
On a alors
N=(zsin(θ) zcos(θ) 0)(cos(θ) sin(θ) 1)=(zcos(θ) zsin(θ) z)
On a donc
N=z

Vecteur normal à la sphère
Le vecteur normal à la sphère paramétrée par
{x= cos(φ)cos(θ) y= cos(φ)sin(θ) z= sin(φ)(θ,φ)D
est
N=(cos(φ)sin(θ) cos(φ)cos(θ) 0)(sin(φ)cos(θ) sin(φ)sin(θ) cos(φ)) = (cos(φ) 2cos(θ) cos(φ) 2sin(θ) cos(φ)sin(φ)) = cos(φ)OM
Le carré de la norme de N est égal à cos(φ) 2. Donc
N=cos(φ).
En particulier, N est nul si l'angle varphi est égal à ±π/2, c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.

Vecteur normal au cylindre
Le cylindre d'axe Oz et de rayon a est d'équations cylindriques x 2+y 2=a 2 et admet comme paramétrisation
{x= acos(θ) y= asin(θ) z= z
On prend donc comme paramètres theta et z.
On a alors
N=(asin(θ) acos(θ) 0)(0 0 1)=(acos(θ) asin(θ) 0)
On a donc
N=a
Le vecteur normal est parallèle au plan xOy.

Vecteur normal à une quadrique
La surface z=x 2+y 2 admet comme paramétrisation
{x= rcos(θ) y= rsin(θ) z= r 2
On prend donc comme paramètres r>0 et θ[0,2π].
On a alors
N=(cos(θ) sin(θ) 2r)(rsin(θ) rcos(θ) 0)=(2r 2cos(θ) 2r 2sin(θ) r)
On a donc
N=r1+4r 2

Vecteur normal à une surface de révolution
Une surface de révolution d'axe Oz d'équations cylindriques r=h(z) avec h une fonction d'une variable réelle admet comme paramétrisation
{x= h(z)cos(θ) y= h(z)sin(θ) z= z
On prend donc comme paramètres z et theta.
On a alors
N=(h(z)cos(θ) h(z)sin(θ) 1)(h(z)sin(θ) h(z)cos(θ) 0)=(h(z)cos(θ) h(z)sin(θ) h(z)h(z))
On a donc
N=h(z)1+h(z) 2

Exercices

Exercices

Exercice

Paramétrisation et vecteur normal

Aire et intégrales de surface

Aire

Définition

Soit 𝒮:(u,v)𝒟f(u,v) une surface paramétrée. On appelle élément de surface
dΣ=D 1(f)(u,v)D 2(f)(u,v)dudv.

Définition

Soit 𝒟 un domaine borné. Soit 𝒮:(u,v)𝒟f(u,v) une surface paramétrée telle que f soit injective. L'aire A(𝒮) de 𝒮 est donnée par la formule
A(𝒮)= 𝒮dΣ= DD 1(f)(u,v)D 2(f)(u,v)dudv.
La "justification" de cette formule est la suivante :

Théorème

Soient V 1 et V 2 deux vecteurs de 3 linéairement indépendants. Alors, V 1V 2 est orthogonal au plan engendré par V 1 et V 2 et sa norme est égale à l'aire du parallélogramme formé à partir de V 1 et V 2.

Exemples de calcul d'aires

Intégrale de surface

Définition

Si 𝒮 est une surface paramétrée par (u,v) in {D} mapsto f(u,v) in 3, on note
dΣ=D 1(f)(u,v)D 2(f)(u,v)dudv.
On définit l'intégrale de surface d'une fonction g:𝒮 3 comme
SgdΣ= Dg(f(u,v))D 1(f)(u,v)D 2(f)(u,v)dudv
= Dg(f(u,v))fu(u,v)fv(u,v)dudv.
On peut démontrer que cette définition est bien indépendante du paramétrage choisi.

Exercice

Intégrale de surface d'une fonction

Flux à travers une surface

Définition

Soit F un champ vectoriel sur 3 défini sur un ouvert U de 3. Soit 𝒮 une surface paramétrée contenue dans U et donnée par le paramétrage
𝒮:(u,v)𝒟f(u,v)=(f 1(u,v),f 2(u,v),f 3(u,v)) 3
L'intégrale de surface (ou flux) de F est donnée par
𝒮FdS= 𝒟FNdudv= 𝒟(F(D 1(f)D 2(f)))dudv = 𝒟det(D 1(f),D 2(f),F)dudv.
Ainsi, dS est ici une notation pour Ndudv et FdS est le produit scalaire de F et de dS.
Si n est le vecteur normal unitaire, on a
dS=ndΣ

Théorème

Le flux d'un champ à travers une surface ne dépend que du paramétrage de la surface à condition de conserver l'orientation, c'est-à-dire que le jacobien
Soit Ψ=ψ 1,ψ 2:UV un changement de variables C 1 d'un ouvert U de 2 sur un ouvert V de 2, c'est-à-dire une application C 1 bijective de U sur V telle que le déterminant
(ψ 1x ψ 2x ψ 1y ψ 2y)
soit non nul. On dit encore que Ψ est un difféomorphisme C 1.
La matrice précédente est appelée matrice jacobienne.
Ce déterminant est appelé jacobien.
du changement de variables soit strictement positif.

Exemple de flux

Prenons pour 𝒮 une surface décrite par une équation explicite z=g(x,y). Soit F=(P,Q,R) un champ sur 𝒮, alors
𝒮FdS= 𝒟(RPD 1(g)QD 2(g))dxdy= 𝒟F(grad(g) 1)dxdy = 𝒟(P Q R)(gx gy 1)dxdy
Prenons pour 𝒮 une portion de sphère unité : θ[θ 1,θ 2], φ[φ 1,φ 2] Soit F=(P,Q,R) un champ sur 𝒮, alors
𝒮FdS= = θ 1 θ 2 φ 1 φ 2OMF(M)cos(φ)dφdθ
= θ 1 θ 2 φ 1 φ 2(x(θ,φ)P(M(θ,φ))) + y(θ,φ)Q(M(θ,φ)) + z(θ,φ)R(M(θ,φ))cos(φ)dφdθ
= θ 1 θ 2 φ 1 φ 2(xP(x,y,z)+yQ(x,y,z)+zR(x,y,z))cos(φ)dφdθ

Exercices de calcul de flux

Exercices

Calculons le flux du champ F(x,y,z)=(x,y,0) à travers la sphère 𝒮 paramétrée comme auparavant.
Ce champ est parallèle au plan xOy. On a
𝒮FdN= 0 2π π/2 π/2FOMcos(φ)dφdθ
= 0 2π π/2 π/2(x 2+y 2)cos(φ)dφdθ
= 0 2π π/2 π/2cos 3(φ)dφdθ= 2π π/2 π/2cos 3(φ)dφ=2π/3

Exercices

Propriétés du flux

Théorème

Le flux d'un champ à travers une surface ne dépend que de la composante normale du champ à la surface, c'est-à-dire de la projection du champ sur la droite normale au plan tangent.
Exemple : Si F(M) est un vecteur du plan tangent en M pour tout point M de la surface, son flux à travers la surface est nulle.

Exercice

Propriétés du flux ou de la circulation . Cet exercice demande d'utiliser la propriété précédente. Attention, il alterne avec un exercice qui parle de circulation.

Théorèmes fondamentaux

Bord d'une surface

On généralise la formule de Green-Riemann (surfaces/courbes) à des surfaces qui ne sont plus planes.

Définition

Soit 𝒟 un domaine de 2 de bord une courbe 𝒞. Soit 𝒮 une surface paramétrée donnée par (u,v)𝒟f(u,v). On appelle bord de 𝒮 l'image de 𝒞 par f. On le note 𝒮. On suppose que le bord de 𝒟 vérifie les hypothèses du théorème de Green et en particulier est bien orienté. On prend sur le bord de 𝒮 l'orientation qui se déduit de celle de 𝒟.

Exemples

Théorème du flux-rotationnel

Théorème

Prenons 𝒮 comme dans la définition. Soit F un champ de vecteurs C 1 à valeurs dans 3 défini sur un ouvert U contenant 𝒮=f(𝒟). Alors, le flux de rotF à travers la surface 𝒮 est égal à la circulation de F le long du bord de 𝒮 :
𝒮rot(F)dS= SFdM.

Exemple : formule de Green-Riemann

Si la surface 𝒮 est un domaine dans un plan horizontal paramétré par
{x = u y = v z = a
le vecteur normal N est le vecteur k=(0,0,1) et on a donc
𝒮rot(F)dS= 𝒮(QxPy)dxdy = = SFdM.
On retrouve la formule de Green-Riemann.

Volumes et orientation

Pour énoncer la formule de Stokes ici, on considère des volumes de 3 du type suivant :
{(x,y)𝒟f 1(x,y)zf 2(x,y)}
ou
{(y,z)𝒟f 1(y,z)xf 2(y,z)}
ou
{(x,y)𝒟f 1(z,x)yf 2(z,x)}
f 1 et f 2 sont des fonctions C 1 par morceaux et où 𝒟 est un domaine du plan du même style ;
On les appellera "régions ou volumes simples fermés". Le bord est formé des morceaux suivants

Définition

On définit sur une région simple une orientation positive du bord en prenant en chaque point du bord la normale sortante, c'est-à-dire celle qui ne pointe pas à l'intérieur du volume.

Théorème de Stokes

Théorème

Soit 𝒱 une région solide simple et soit 𝒱 le bord de 𝒱 orienté positivement, lisse par morceaux. Soit F un champ de vecteurs C 1 sur un ouvert de 3 contenant 𝒱. Alors,
𝒱FdS= 𝒱divFdV.

Cela généralise à la dimension 3 le théorème de Green

Conséquences du théorème de Stokes

Théorème

Soit V un volume simple dans 3 dont le bord est une surface simple dans 3 et F un champ de vecteurs défini sur un ouvert contenant V. Alors, si la divergence de F est nulle, le flux de F à travers S est nulle.
On peut appliquer ce théorème à des volumes dont le bord est "en deux morceaux" : par exemple, le volume compris entre une sphère de rayon r et une sphère de rayon R de même centre O avec r<R à condition de bien orienter la surface (même question qu'en dimension 2 où cela est plus facile à représenter). Dans le cas précédent, la normale est

Théorème

Soit V 1 et V 2 deux volumes simples dans 3 de bords orientés S 1 et S 2 "emboités" c'est-à-dire tels que V 1V 2. et F un champ de vecteurs défini sur un ouvert contenant V 2. Alors, si la divergence de F est nulle, les flux de F à travers S 1 et à travers S 2 sont égaux.
On en déduit le théorème de Gauss :

Théorème

Si F(M)=OMOM 3 et si V 1et V 2 sont deux volumes simples dans 3 de bords orientés S 1 et S 2 "emboités" c'est-à-dire tels que V 1V 2. les flux de F à travers S 1 et à travers S 2 sont égaux.

Exercices

Exercice

Pour ne pas confondre les différentes formules

Angle solide

Soit 𝒮 une surface et O un point tel que toute demi-droite passant par O ne coupe 𝒮 qu'en au plus un point.

Définition

L'angle solide Ω O(𝒮) sous 𝒮 vu de O est l'ensemble des demi-droites issues de O et coupant 𝒮. Maintenant, si a est un réel strictement positif, soit S(a) l'intersection de la sphère de centre O et de rayon a et de l'angle solide Ω O(𝒮). La mesure de l'angle solide Ω O(𝒮) est définie comme le quotient de l'aire de S(a) par a 2 :
Ω O(𝒮)=aire(S(a))a 2
qui ne dépend pas de a.
On peut réinterpréter cette formule de la manière suivante : on remarque que
Ω O(S(a))= S(a)dΣOM 2 = S(a)OMdSOM 3,
(sur la sphère, OMdS=OMdΣ car le vecteur OM et le vecteur normal sont colinéaires).

Théorème

Soit 𝒮 une surface, O un point tel que toute demi-droite passant par O ne coupe 𝒮 qu'en au plus un point.
Ω O(𝒮)= 𝒮dΣOM 2 = 𝒮OMdSOM 3
Démonstration
C'est une application du théorème flux/divergence :

Mesure de l'angle dans le plan

Soit ω un angle dans le plan de sommet O. Rappelons que l'on définit la mesure d'un angle ω de centre O comme
longueur(c(a))a
avec c(a) est l'arc de cercle de centre O et de rayon a intercepté par l'angle ω.
On peut réinterpréter cette longueur comme l'intégrale curviligne sur c(a) du champ de vecteurs F défini par
F(M)=(yOM 2,xOM 2)=OM OM 2
avec la notation personnelle que OM est le vecteur perpendiculaire obtenu en faisant subir à OM une rotation d'angle π/2.

Théorème

Soit 𝒞 une courbe et O un point tel que toute demi-droite issue de O coupe la courbe 𝒞 en au plus un point. Si ω(𝒞) est l'angle interceptant la courbe du point O, on a
ω(𝒞)= 𝒞F(M)dM= 𝒞OM OM 2dM
Démonstration
On utilise ici la formule de Green

Résumé

courbe bordée par des points dans RR a bf(x)dx = f(b)f(a C={a,b}
courbe bordée par des points dans 2 Cgradf(M)dM = f(B)f(A) C={A,B})
courbe sans (points) bord dans 2 Cgradf(M)dM = 0 C=
domaine bordé par une courbe dans 2 DrotF(M)dA = CF(M)dM D=C, C=
domaine bordé par une courbe dans 2 DdivF(M)dA = CF(M)dN D=C   C=
surface bordée par une courbe dans 3 SrotF(M)dS = CF(M)dM S=C   C=
surface sans bord dans 3 SrotF(M)dS = 0 D=  
volume bordé par une surface dans 3 VdivF(M)dV = SF(M)dS
V=S   S=  
volume bordé par une surface dans 3 VΔ(f(M))dV = Sgradf(M)dS V=S   S=

Pour un volume sans bord, allez faire un tour dans 4 ! et je n'ai pas pu représenter la boule à l'intérieur de la sphère...
élément d'aire dans 2 dA dxdy rdrdθ
élément de volume dans 3 dV dxdydz rdrdθdz cos(φ)r 2drdθdφ ( varphi l'angle de OM avec xOy)
élément curviligne dans 3 dM (dx,dy,dz)
élément de longueur sur une courbe dM M(t)dt
élément d'aire dans 3 dΣ=Ndudv
élément de surface dans 3 dS=Ndudv

document d'introduction aux surfaces en vue de la formule de Stokes.
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