DOC Inégalités, intervalles, inéquations

Sommaire

Ce cours est une introduction aux notions simples sur les inégalités. Son but est de présenter définitions, propriétés de base et calculs et applications usuels.

Pour une approche plus approfondie de ces notions, on pourra consulter avec le plus grand profit le cours Inégalités, inéquations .

Les pages principales (A1, A2, A3, ...) proposent un parcours progressif avec définitions, règles, exemples simples et exercices basiques. Les pages annexes (A1+, A1++, A4+, B1+, ...) qui figurent en retrait, présentent d'autres exemples et exercices plus élaborés, partant souvent de situations concrètes.

Des exercices interactifs pour illustrer ce cours sont en cours de publication, ils y seront insérés dès que possible.

A. Inégalités et comparaisons

B. Inégalités et opérations

C. Valeur absolue, carrés, racines

D. Intervalles

E. Majorer, minorer, encadrer

F. Inéquations


Commentaire pour le professeur. On peut utiliser ce document, avec ses exercices, dans un objectif de mise à niveau et de remédiation sur le sujet rarement bien maîtrisé des inégalités, notamment pour une meilleure réussite aux études supérieures en Sciences-Technologies-Santé (Licences, DUT, PASS, ...), en Économie-Gestion, ....

A1. Plus petit, plus grand

Cette page présente des définitions et les premiers exemples sur les façons de caractériser le plus grand ou le plus petit de deux nombres réels.

Définitions. Soient a et b deux nombres réels.
Exemples I.
  1. Les relations 35 et 57 sont vraies. La double inégalité 357 signifie : 35 et 57.
  2. L'inégalité 33+x 2 est vraie pour tout x réel, car le carré de x est toujours positif ou nul, quel que soit le réel x.
  3. Étant donné deux nombres réels x et y, on note a le produit 2xy et b le carré de leur somme. Montrer l'inégalité ab.
    Solution. On a donc : b=(x+y) 2=x 2+2xy+y 2. L'inégalité ab est vraie car la différence ba=x 2+y 2 est la somme de deux carrés, donc est positive ou nulle.
Définitions. Soient a, b, c, ... des nombres réels.
Exemples II.
  1. L'inégalité stricte 3<5 est vraie, ainsi que l'inégalité large 35.
  2. Quel que soit x1, le quotient F(x)=1x 31x est un nombre strictement positif.
    Solution.
    Selon l'identité remarquable a 3b 3=(ab)(a 2+a×b+b 2), le numérateur est égal à (1x)(1+x+x 2). On obtient F(x)=1+x+x 2. Ce trinôme ayant un discriminant Δ=3 strictement négatif est de signe constant, positif ici comme le coefficient 1 du terme en x 2. Voir le cours sur le signe d'un trinôme .
Exercice. Quel est le plus grand périmètre ?

Pour aller plus loin : des exemples et exercices plus élaborés sont présentés dans les pages suivantes :

A1+ Comparer les tailles des élèves d'un groupe

Cette page présente d'autres exemples et exercices en lien avec A1. Plus petit, plus grand

i = 1 i = 2
Exemple.

On a relevé les tailles (en cm) de 20 élèves disposés en 5 rangées de 4, c'est-à-dire 5 lignes et 4 colonnes dans le tableau ci-dessous.

183 175 174 180
181 169 179 173
185 184 178 171
170 167 177 176
168 172 182 166
Solution

Autres exemples et exercices : A1++ Quel est le plus grand terme de la suite ?

A1++ Quel est le plus grand terme de la suite ?

Cette page présente d'autres exemples et exercices en lien avec A1. Plus petit, plus grand

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